Multi-Commodity Flow und Lagerhaltung

Wenn man an Tourenplanung denkt, denkt man an Netzwerke auf Landkarten und das Finden bester Wege. Häufig setzt man hierfür Flussanalysen ein und betrachtet etwa Fahrzeugströme auf der Karte. Flussanalysen sind mathematisch elegant und sie können nicht nur auf geografischen Karten, sondern auch über die Zeit hinweg eingesetzt werden.

Time-Space-Netzwerke betrachten den geografischen Raum pro Zeitpunkt und sind so in der Lage, einen Verlauf darzustellen. Hier setzt die Flussanalyse an: Man betrachtet diese „Raumzeit“ als Netzwerk und nutzt Balance-Gleichungen, um die Fahrzeugströme eben nicht nur über den Ort, sondern auch über die Zeit zu beschreiben.

Während wir in Teil 1 Time-Space-Netzwerke allgemein vorgestellt haben, werden sie in diesem Beitrag realistisch anwendbar. Denn bisher wurden zwei stark vereinfachende Annahmen gemacht:

  • Es wurden lediglich Fahrzeugströme modelliert
  • und für jeden konkreten Bedarf eines Kunden eine Kante im Netzwerk (und damit eine potenzielle Anlieferung) erzeugt.

Im wahren Leben geht es aber um konkrete Waren, deren Bedarf schwanken kann. Zudem braucht man üblicherweise keine Just-in-Time-Anlieferung an genau dem Zeitpunkt, an dem der Bedarf existiert, sondern es gibt Lager, die rechtzeitig gefüllt werden müssen.

Waren fließen durch das Netz

Aus mathematischer Sicht bleibt es sich gleich, ob Fahrzeuge oder Waren durch das Netz „fließen“. Deutlich interessanter ist die Einführung einer Lagerhaltung. Diese hat zwei Auswirkungen:

  • Jeder Kunde hat zu jedem Zeitpunkt einen Warenbestand.
  • Das Netzwerk wird deutlich größer, da flexibler angeliefert werden kann.

Die Detailformulierungen hierfür liefert unser Whitepaper.

Bisher haben wir einen direkten Zusammenhang zwischen Bedarf und Anlieferung modelliert. Dies wird nun durch die Lagerhaltung ersetzt: Der eigentliche Bedarf wird nun aus dem Warenbestand befriedigt, die Anlieferung füllt nun stattdessen den Warenbestand auf. Daher müssen ein paar Randbedingungen aktualisiert werden:

  • (C1.2) Die Flusserhaltung bezieht nun den Lagerbestand mit ein und existiert pro Warengruppe
  • (C2.2) Bisher wurde der Bedarf als Obergrenze der fahrenden LKWs modelliert - diese Modellierung entfällt nun
  • (C3.2) Bedarf wird immer dann verpasst, wenn der Lagerbestand negativ wird

Diese Anpassung bedeutet, dass deutlich flexibler angeliefert werden kann, denn wann genau der Lagerbestand aufgefüllt wird, ergibt sich aus Bestand und Bedarf, kann aber im Gegensatz zu vorher mehrere Zeitpunkte umfassen. Dementsprechend werden mehr potenzielle Verbindungen im Time-Space-Netzwerk generiert.

  • (AUX2.2) Anlieferungen im Netzwerk sind nun deutlich öfter potenziell sinnvoll.

Mit diesen Ergänzungen (und denen zugehörigen Details im Whitepaper) haben wir eines erreicht: Eine Bedarfsmodellierung auf der Ebene der Warengruppen einschließlich Bedarf an LKWs sowie eine Generierung optimaler Fahrpläne unter Ausnutzung der Flexibilität, die uns eine Lagerhaltung ermöglicht.

Für eine Modellierung von Lieferplänen auf Warengruppenebene einschließlich Lagerhaltung bieten Time-Space-Netzwerke eine elegante Lösung, an der sich der Nutzen mathematischer Optimierung gut untersuchen lässt.